유튜브 기초 수학 : 3Blue1Brown의 Essence of linear algebra 수강 후기

너무 귀여운 3Blue1Brown 굿즈 ($17.29)

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대학원 수업 선행(?)학습으로 선형대수학을 공부하려는데, 좋은 유튜브 강의가 있어서 공부한 겸 정리 포스팅이다. 애니메이션 + 쉬운 설명 + 좋은 목소리(^^)로 삼위일체 강의이다. 초심자에게 선형대수를 쉽게 설명해 주신다. 특히 쉽게 접할 수 없는 선형대수학에 대한 3D 그래픽을 통한 직관적 이해를 제공한다. 무료로 듣기 송구한 강의라고 감히 평한다.

근데 난 이걸 한 달동안 들었다.. 오늘 겨우 완강했다. 역시 회사 다니면서 공부하기란.. 쉽지 않다 😂😂

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Vectors | Chapter 1, Essence of linear algebra

What is vector?

기본적, 근본적인 선형 대수의 구성 조각은 벡터라고 할 수 있음. 전공에 따라 벡터의 의미는 달라짐
- Physics : 공간에서 화살표. 길이/방향을 가짐.
- CS : 순차 숫자 리스트. 모델링을 통해 lists of numbers로 나타낸 것
- Mathematics : 위 관점들을 좀 더 일반화하는 과정. 개념/연산에 맞는 추상적인 벡터
★벡터 합, 행렬 곱
벡터의 값은 숫자 쌍으로 이루어져 있음
벡터 합 : 벡터를 하나의 움직임으로 보는 관점이 필요함

Vector 합

벡터 길이를 늘이거나 줄이거나(scalar 곱), 방향을 뒤집는 것(음수 곱)을 "스케일링(scaling)"이라고 부름

Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra

"i hat" and "j hat" are the "basis vectors (기저 벡터)" of the xy coordinate system
만약 다른 기저 벡터를 생성한다면, 우리는 완전히 다른 좌표계를 얻게 된다.
"Linear combination" (선형 조합)
- 다만, 원점을 기준으로 하는 벡터는 같은 뱡향의 linear combination만 가능
- The "span" of $\vec v$ and $\vec w$ is the set of all their linear combinations.

3차원에서는 "면"이 span이 될 수 있음.
The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space.

Linear transformations and matrices | Chapter 3, Essence of linear algebra

Linear Transformation 개념 알기 (선형대수에서 가장 중요!) ⭐⭐⭐
transformation = function (input->f->output)
즉 특정 벡터를 다른 벡터로 바꾸는 변환, 혹은 movement (움직임)
공간을 이동시키는 방법
Grid lines remain parallel and evenly spaced (동일한 간격), not diagonal lines get curved

Matrix multiplication as composition | Chapter 4, Essence of linear algebra

"Composition" of a rotation and a shear (밀다)
연속되는 변환 또한 하나의 변환으로 표현 가능 by 행렬 곱 (matrix product)
행렬 곱은 오른쪽->왼쪽 순서로 읽어야 함

Three-dimensional linear transformations | Chapter 5, Essence of linear algebra

그래픽으로 3차원 선형변환 이해하기

The determinant | Chapter 6, Essence of linear algebra

determinant (행렬식) 값이 3이라면, transformation 후에는 원래 영역(area)의 3배 만큼 커진다는 것을 의미한다.
면->선이 된다면 determinant value는 0.

행렬식 공식은 ad-bc 인데, 이것에 대해 의문을 가진 적은 없고 그냥 외웠었다. 근데 영상을 통해 직관적으로 이해하니까 좀 충격적이고 고등학교, 대학교 때 왜 이걸 몰랐을까.. ㅠㅠ 너무 이해가 잘 된다.

Inverse matrices, column space and null space | Chapter 7, Essence of linear algebra

Inverse transformation (역변환) 개념
$A^{-1}A\vec x = A^{-1}\vec v$
"Rank" : Number of dimensions in the output
"Column Space" of $A$ : Set of all possible outputs A$\vec v$
"Null Space" or "Kernel" : transformation 후 원점으로 이동되는 벡터들의 집합

Nonsquare matrices as transformations between dimensions | Chapter 8, Essence of linear algebra

Nonsquare 행렬 ex) $2 \times 3$ <- linear transformation과는 다르다.

Dot products and duality | Chapter 9, Essence of linear algebra

Dot products (내적) 의 기하학적 해석: projection 후 두 벡터의 길이 곱

Cross products | Chapter 10, Essence of linear algebra

Cross Products (외적) = Area of this parallelogram * direction
( direction은 기본적으로 $\vec v$가 $\vec w$의 오른쪽

2차원 외적&amp;nbsp;

3차원 외적 (방향은 오른손 법칙 사용)

표기적 트릭을 이용한 3차원 행렬곱(determinant) 구하기

Cross products in the light of linear transformations | Chapter 11, Essence of linear algebra (Additional)

linear tranformation = dot product (왼하단 식 참조)

Cramer's rule, explained geometrically | Chapter 12, Essence of linear algebra

챕터 12는 한국어 자막이 지원이 되지 않아서 대충 봤다... ^^
(2D까지만 이해하고 3D는 포기)
크래머 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. (from 위키백과)

+ orthonormal matrix : 직교 행렬

Change of basis | Chapter 13, Essence of linear algebra

• Coordinate system (좌표계) : 직선, 평면 위 또는 공간 내의 임의의 점에 좌표를 도입하기 위하여 구성한 것
• Basis vector (기저벡터) : vector를 표현하기 위한 가장 기본의 vector

🌠만약 다른 basis vector를 사용한다면? How do we translate between coordinate system?
➡ basis vector에 대한 행렬곱으로 생각해 보기, $$A^{-1} M A$$

90° Rotation in Jennifer's Coordinate System

$$\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 \\
2
\end{bmatrix}
$$

$$
=
\begin{bmatrix}
1/3 & -2/3 \\
5/3 & -1/3
\end{bmatrix}
$$

Eigenvectors and eigenvalues | Chapter 14, Essence of linear algebra

• Eigenvector : 고유 벡터, translation에서 span을 유지하는 성질을 가진 벡터
• Eigenvalue : 고유값, 각 eigenvector는 고유한 eigenvalue를 가진다.

고유 벡터를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
$$
A\vec v = \lambda\vec v
(A-\lambda I)\vec v = \vec 0
$$
즉 $\vec v$가 $\lambda$에 의해 scaling 되도록 하는 행렬이다. 이 람다값은 3차원 행렬을 2차원으로 만든다.

Diogonal Matrix : 대각선 원소 외 원소들이 모두 0인 행렬 (scaling)
➡ 모든 basis vector가 eigenvector이며 대각선의 값들이 eigenvalue가 된다.
Eigen Basis : 좌표계를 바꾸는 방식으로 eigenvector를 얻음

A quick trick for computing eigenvalues | Chapter 15, Essence of linear algebra

LaTex로 수식 쓰다가 못해먹겠어서 손으로 필기 …

공식 노래가 너무웃기닼ㅋㅋㅋㅋ chapter 15는 꼭 보세요ㅠ

Abstract vector spaces | Chapter 16, Essence of linear algebra

파이 녀석들.. 너무 귀엽다.. 살까?

Reference

3Blue1Brown series S1 • E1

Essence of linear algebra